"Enter"a basıp içeriğe geçin

Geometride Bazı Problemler

Önce geometrik analiz alanına ait seçilmiş bir problem listesine bakarız.
Liste konuya bir bakış atmalı. Anlamak için çok önemli değil
şimdi problemler. Kurs sırasında ya da ikincisinde bir ya da diğeriyle karşılaşacaksınız ya da
Dersin üçüncü kısmı.
1) Ham-Sandviç-Salata problemi: 1 Ekmek, salata ve
jambon. Sandviçi iki parçaya böldüğünüzde iki parçaya ayırabilirsiniz.
Aynı miktarda jambon ve aynı miktarda ekmek ve aynı miktarda salata? bir
matematiksel reformülasyon: üç set verilir B, H, S ⊂ R
3
. R3’de bir uçak var mı
böyle
H ve B ve S hacimlerinin düzlemin her iki tarafında aynı olduğunu mu?
Not: Bu sorunun çözümü Stone-Tukey teoremi olarak adlandırılır ve hoş bir uygulamadır.
Her sürekli haritalama için f: S → R2 olduğunu belirten Borsuk-Ulam teoreminin
itibaren
Düzlemde bir küre S, S’de bir p noktası vardır, öyle ki f (p) = f (p
*
), p nerede
*
p antipodudur.
Örnek: Borsuk-Ulam teoremi, örneğin her zaman iki antipodalın var olduğunu ima eder.
Aynı sıcaklığa ve aynı basınca sahip olan yeryüzündeki noktalar.
Açıklama. Borsuk-Ulam’ın daha soyut teoreminin çözümü nasıl sağladığını açıklayalım
Ham-Sandviç-Salata probleminin: herhangi bir set X ve herhangi bir satır için, bir P noktası vardır (l, X)
l üzerinde uzanır ve bu şekilde P (l, X) boyunca l’e dik olan düzlemin X’i iki parçaya böler
Aynı hacimden. FX (x) = | x – P (l (x), X) | değerlerini tanımlayarak, küre S’den R’ye bir harita fX tanımlayın.
Burada l (x), x ve kökeni olan satırdır. Açıkça fx (x
*
) = 2 – fX (x). Şimdi haritayı tanımla
g: S → R2 ile g (x) = (fB (x) – fS (x), fH (x) – fS (x)). Borsuk-Ulam tarafından, bir p noktası var.
küre, öyle ki g (p) = g (p
*
). G (x) = −g (x olduğu için)
*
) tüm x için, biz g (p) = 0 var.
fB (p) = fH (p) = fH (p) olmasını sağlar.
Borsuk-Ulam teoreminin bir kanıtı, sürekli bir derecenin derecesi ile elde edilebilir.
Bir manifolddan diğer bir manifoldla eşleyin.
2) Anülüs problemi ve Sch¨onflies problemi: iki orta standart
1 ve 2 yarıçaplarında B1, B2 topları. B1 ve B2 arasındaki bölge bir halka olarak adlandırılır.
Sorun şu anlama geliyor: d boyutlu bir topun d boyutlu bir şekilde gömülmesi için
Top, bu iki bölge arasındaki bölge, anulusa homeomorfiktir. Bu olmuştur
d 6 = 4 boyutlarında gösterilmiştir.
Pürüzsüzlük gereksinimi önemliydi ve neden olduğunu göstermek istiyoruz.
düştü: R3’deki topu boynuzlu Alexander boynuzunu düşünün

İlk Yorum Sizden Gelsin

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir